Algo que nos encanta a los matemáticos más que Dragon Ball, ¡es resolver ecuaciones! (bueno, no a todos… hay quien no les gusta Dragon Ball). Pero hay una en particular que el Instituto Clay de Matemáticas premia con un millón de dólares a quien logre resolverla. Así que fácil seguro no es, pero sí que es fácil entender el problema. ¡Vamos ya!
 
Se dice que resolvemos una ecuación cuando encontramos un valor para los que la igualdad se cumple, por ejemplo:
 
x – 5 = 2 
 
Cuya solución es 7 pues 7 – 5 = 2.
 
Desde luego las hay más complicadas y que la ecuación tenga más de una solución:
 
x² – x – 6 = 0
 
Que se resuelve haciendo x = 3 ó x = -2
 
Ahora, recordemos que una función es un objeto matemático que cada vez que tú le das un valor, te regresa otro valor; como en la tiendita, en un intercambio navideño o en el box; ¡es dar y recibir!
 
Pongamos de ejemplo la función:
 
f(x) = x³ + 1
 
Si a la función le das el número 2 y haces las operaciones, obtienes el 9, es decir:
 
f(2) = 2³ + 1 = 8 + 1 = 9
 
Por lo tanto f(2) = 9.
 
También podemos ver que f(3) = 28, f(0) = 1 o que f(-2) = -7, y en general, cada que tú le des un valor a x, obtienes f(x). ¿Pero qué pasa si ahora tú le asignas un valor a f(x) y quieres saber quién es x?
 
¡Pues obtienes una ecuación (*salta de alegría porque es matemático*)!
 
Con el ejemplo anterior, demos que f(x) = 10.
Como f(x) = 10 y a su vez, f(x) = x³ + 1, pues tenemos que:
 
x³ + 1 = 10       (una ecuación)
 
Cuya solución es x = 3.
 
Pero en esta perra vida hermosa, no siempre es fácil encontrar lo que buscas, sobre todo cuando es dinero, amor y soluciones a ecuaciones. Hay unas realmente complejas… literalmente… Por eso introduciremos a los números complejos (sólo lo poco que nos concierne ahorita pero haremos una serie dedicada a ellos. Quizá se llame «A complex life»).
 
Un número complejo básicamente consta de dos números «tradicionales», el primero llamado parte real y el segundo llamado parte imaginaria, así que podemos ver cada número complejo como una linda parejita (hasta los complejos tienen pareja y tú no).
 
(1,2),(0,-1/2) (π,e) son tres ejemplos de números complejos con su parte real e imaginaria.
 
Y así como antes, hay funciones que reciben complejos y te regresan complejos (como mi psicólogo, que recibe complejos y me regresa más complejos) y también se pueden resolver ecuaciones con números complejos.
 
¡Ahora sí! Todo está listo para ver a la estrella del millón de dólares. Redoble de tambores, por favor:
 
*Tam tam tam tam tam tam tam tam…*
 
Les presento a… ¡La función zeta de Riemann!:
Luce un poco extraña pero es que en esta función la variable no se llama «x» sino «s» y la «n» no es una variable sino parte de la notación de la suma… pero si te parece muy espantosa, se puede reescribir así:
Donde los puntos suspensivos quieren decir que se sigue así hasta el infinito. Y lo chido es que esta función es sobre los números complejos (si no, ¿pa’ qué los vimos?).
 
Pero tú viniste aquí por la promesa del millón de dólares, ¿así que qué hay que hacer con esta cosa para que te paguen?
 
¡Ahí te va el problema!:
 
¿Para qué valores de «s» la función vale cero?
 
Es decir, si yo tengo que ζ(s) = (0,0) (el cero en los complejos), ¿cuáles son todos los valores de s que resuelven la ecuación?
 
Con algunas matemáticas pesadas se sabe que todos los números complejos de la forma (-2n, 0), osea, s = (-2,0), s = (-4,0), s = (-6,0), etcétera, son una solución para dicha ecuación, y se les llama «ceros triviales» (matemáticos pedantes) ¿pero hay más soluciones aparte de los ceros triviales?
 
Ese es el verdadero reto.
 
En 1859, Bernhard Riemann propuso que si s era una solución no trivial a la ecuación, entonces esta debía ser de la forma (1/2 , a), donde podía ser algún otro número. Osea:
para cualquier solución no trivial de la función zeta, su parte real debe ser 1/2.
 
A esta suposición se le llama Hipótesis de Riemann y hasta la fecha ningún guerrero ha logrado demostrar si es cierta o no.
 
Aunque se han logrado varios avances para creer cada vez más que esto es verdadero, aún no es para nada un hecho. Y prácticamente desde que fue formulada, se han ofrecido diversos premios a quien lo logre. Algunos monetarios como el del Instituto Clay y otros matrimoniales como el que te hago yo si lo logras.
 
¿Serás tú quien lo resuelva? ¿Darás todas las soluciones a la ecuación? ¿O simplemente encontrarás un cero distinto para la función zeta? En cualquier caso, como todo buen matemático disfrutarás resolviendo ecuaciones ¡y nadie negará que serás un verdadero guerrero Z!
5/5

2 comments to “La función zeta y la hipótesis de Riemann”

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  1. Jaime - 31 marzo, 2020 Responder

    Claro, preciso y sencillo

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